chmod u+x backup.sh
記号指定は「だれに(u 所有者、g グループ、o その他、a すべて)」「どうする(+ 追加、- 削除、= 指定)」「何を(r、w、x)」の組み合わせで書きます。u+x は所有者に実行権限を足すだけなので、元の 644 は 744 になります。
chmod +x のように対象を省くと a 扱いになりますが、umask で許可されない権限は付きません。多くの環境では 755 になり、グループとその他にも実行権限が付いてしまいます。数値指定(chmod 700)は全体を上書きするので、「ほかは今のまま」という場合は記号指定が向いています。