head -n 15 app.log | tail -n 5 > mid.txt
head -n 15 で先頭から15行を取り出し、その出力を tail -n 5 に渡して末尾の5行(11〜15行目)だけにします。|(パイプ)で、前のコマンドの出力を次のコマンドの入力につなぎます。
head と tail は、-n を省略すると10行です。tail -n +11 は「11行目から最後まで」、head -n -5 は「最後の5行を除いたすべて」という意味になります。tail -f はファイルの追記を見続けるので、ログの監視に使います。sed -n 11,15p app.log でも同じ結果になります。