ホームディレクトリの backup.sh を、バックグラウンドで、端末を閉じたとき(ハングアップ)にも止まらない形で起動してください。起動したまま動いている状態にします。
nohup ./backup.sh &
nohup コマンド は、コマンドが SIGHUP(ハングアップ)を無視するようにして起動します。ログアウトや端末のクローズで SIGHUP が送られても、プロセスは止まりません。末尾の & でバックグラウンドに回します。標準出力を端末に出す設定のままだと、出力は nohup.out に書かれます。
& だけで起動した場合は、ジョブとして jobs で見え、fg %1 で前面に、bg %1 で背面に戻せますが、SIGHUP への対策はされません。disown でシェルのジョブ表から外す方法や、screen や tmux を使う方法もあります。動いているかは ps aux | grep backup.sh や pgrep -x backup.sh で確かめます。