バックグラウンドで sleep コマンドが1つ動いています。そのプロセスのPIDを調べ、数字だけをホームディレクトリの answer.txt に書いてください。
pgrep -x sleep > answer.txt
pgrep 名前 は、名前に一致するプロセスのPIDだけを表示します。-x を付けると、名前が完全に一致するものだけを対象にします。ps aux | grep sleep や ps -C sleep でも調べられますが、grep 自身が結果に混ざることがあります。
$$ は今のシェル自身のPIDなので、目的のプロセスとは別です。プロセスの親子関係は pstree -p で木の形に見られます。